Die Regressionsanalyse dient zur grafischen und rechnerischen Beschreibung des Zusammenhangs zwischen zwei variablen Größen. Sie beantwortet die Fragestellung, ob, in welcher Richtung und mit welchem Modell eine Zielgröße durch eine Einflussgröße beschrieben werden kann.
Jeder Punkt im Diagramm repräsentiert ein Wertepaar aus einer Einflussgröße (x) und einer Zielgröße (y). Zusätzlich wird ein Regressionsmodell berechnet, die den Verlauf der Daten mathematisch beschreibt.
Die Regressionsanalyse eignet sich insbesondere für:
- die Untersuchung von Einflussfaktoren auf eine Zielgröße
- stetige Messgrößen (z. B. Zeit, Temperatur, Menge, Viskosität)
- die Beschreibung und Bewertung eines Zusammenhangs mit einem Regressionsmodell
In der Entwicklungsabteilung für neue Tomatensoßen wird untersucht, wie die Kochzeit die Viskosität des Produkts beeinflusst. Hierzu werden in mehreren Versuchsreihen Tomatensoßen mit unterschiedlichen Kochzeiten hergestellt. Für jede Versuchsreihe werden die Kochzeit sowie die resultierende Viskosität gemessen und als Wertepaar erfasst. Mithilfe der Regressionsanalyse wird untersucht, welches Modell den Zusammenhang zwischen Kochzeit und Viskosität in den Messdaten beschreibt.
Der grundsätzliche Zusammenhang ist fachlich bekannt: Durch längeres Kochen verdunstet Wasser, wodurch die Tomatensoße in der Regel eine höhere Viskosität aufweist.
Interpretation der Ergebnisse:
Das Streudiagramm zeigt einen klaren positiven Zusammenhang zwischen Kochzeit und Viskosität. Mit zunehmender Kochzeit steigt die Viskosität der Tomatensoße. Die Regressionsgleichung beschreibt diesen Zusammenhang durch ein lineares Modell. Das Modell zeigt, um wie viel die Viskosität im Mittel steigt, wenn die Kochzeit zunimmt.
Die Modellzusammenfassung zeigt ein hohes R-Qd. Damit erklärt das Modell einen großen Teil der Streuung der Viskosität. Auch das angepasste R-Qd liegt nahe am R-Qd, wodurch das lineare Modell für dieses Beispiel plausibel ist. Die Varianzanalyse zeigt einen kleinen P-Wert. Das spricht dafür, dass der Zusammenhang zwischen Kochzeit und Viskosität statistisch deutlich erkennbar ist.
Die Residuen-Diagramme wirken insgesamt unauffällig. Im Diagramm Residuen vs. Anpassung streuen die Punkte überwiegend zufällig um 0. Das Wahrscheinlichkeitsnetz und das Histogramm zeigen keine starken Abweichungen von einer annähernd normalen Verteilung. In der Residuen-Zeitreihe ist kein klarer Trend erkennbar.
Insgesamt beschreibt das lineare Regressionsmodell den Zusammenhang zwischen Kochzeit und Viskosität in diesem Beispiel gut.
Erklärungen zu den Ergebnissen:
Die Ausgabe der Regressionsanalyse besteht aus dem Streudiagramm mit Regressionslinie, der Regressionsgleichung, der Modellzusammenfassung, der Varianzanalyse und optional den Residuen-Diagrammen.
Das Streudiagramm zeigt die Messwerte als Punkte. Die Regressionslinie beschreibt den berechneten Zusammenhang zwischen der Einflussgröße x und der Zielgröße y.
Die Regressionsgleichung beschreibt diesen Zusammenhang mathematisch. Sie kann verwendet werden, um die Zielgröße innerhalb des betrachteten Datenbereichs abzuschätzen.
Die Modellzusammenfassung zeigt Kennzahlen zur Modellgüte. S beschreibt die typische Abweichung der Messwerte von der Regressionslinie. R-Qd zeigt, welcher Anteil der Streuung durch das Modell erklärt wird. R-Qd(adj.) ist das angepasste R-Qd und berücksichtigt die Anzahl der Modellterme.
Die Varianzanalyse zeigt, wie sich die Streuung der Daten auf Regression, Fehler und Gesamtstreuung verteilt. Der P-Wert hilft einzuschätzen, ob der Zusammenhang statistisch nachweisbar ist.
Die Residuen-Diagramme zeigen die Abweichungen zwischen Messwerten und Modellwerten. Die Residuen sollten möglichst zufällig um 0 streuen. Auffällige Muster können darauf hinweisen, dass das Modell nicht alle Zusammenhänge vollständig beschreibt.
- Die Punkte sollten ungefähr auf einer Geraden liegen.
- Starke Krümmungen oder S-förmige Verläufe sprechen gegen eine Normalverteilung.
- Einzelne weit entfernte Punkte können auf Ausreißer hinweisen.
- Die Punkte sollten zufällig um die Nulllinie streuen.
- Ein Bogen deutet darauf hin, dass ein lineares Modell die Krümmung nicht ausreichend beschreibt.
- Eine Trichterform deutet darauf hin, dass die Streuung nicht konstant ist.
- Einzelne weit entfernte Punkte können Ausreißer sein.
- Die Verteilung sollte ungefähr symmetrisch um 0 liegen.
- Eine stark schiefe Verteilung kann auf Ausreißer oder ein ungeeignetes Modell hinweisen.
- Mehrere Gipfel können darauf hindeuten, dass verschiedene Gruppen oder Prozesszustände vermischt wurden.
- Die Punkte sollten zufällig um 0 schwanken.
- Ein steigender oder fallender Trend deutet auf eine zeitliche Veränderung hin.
- Wiederkehrende Muster können auf Zyklen, Chargen oder Prozessänderungen hinweisen.
- Längere Folgen nur positiver oder nur negativer Residuen zeigen, dass das Modell bestimmte Bereiche systematisch über- oder unterschätzt.
In der Regressionsanalyse können Sie verschiedene Modelle und Ausgaben auswählen:
| Auswahl im Tool | Modelltyp | Allgemeine Gleichung |
|---|---|---|
| Linear | Polynom 1. Grades | y = a₀ + a₁x |
| Quadratisch | Polynom 2. Grades | y = a₀ + a₁x + a₂x² |
| Kubisch | Polynom 3. Grades | y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ |
| Polynom 4. Grades | Polynom 4. Grades | y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ |
| Polynom 5. Grades | Polynom 5. Grades | y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ |
| Polynom 6. Grades | Polynom 6. Grades | y = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ |
Dabei gilt:
- y = Zielgröße
- x = Einflussgröße
- a₀ = Achsenabschnitt
- a₁ bis a₆ = Modellkoeffizienten
Im Folgenden finden Sie die Überlegungen und Schritte, die notwendig sind, um eine Regressionsanalyse zu erstellen.
Vorarbeit
- Festlegen der Zielgröße (y) (z. B. Viskosität der Tomatensoße)
- Festlegen der Einflussgröße (x) (z. B. Kochzeit)
- Sicherstellen, dass beide Größen quantitative Messgrößen sind
- Daten erheben
Nutzung in AlphadiTab
- In der Measure-Phase das Tool Regressionsanalyse auswählen
- Bei Daten X die Spalte Kochzeit auswählen
- Bei Daten Y die Spalte Viskosität auswählen
- Bei Regression das gewünschte Modell auswählen, z. B. Linear oder Polynom 2. Grades
- Optional: Residuenplots anzeigen
- Mit Aktualisieren bestätigen
Interpretation
- Prüfen, ob ein Zusammenhang zwischen x- und y-Achse erkennbar ist
- Beurteilen, ob das Regressionsmodell den Verlauf sinnvoll beschreibt
- Modellkennzahlen wie S, R-Qd und R-Qd (adj) bewerten
- Residuen prüfen, um Auffälligkeiten oder systematische Muster zu erkennen
Interpretationscheckliste – Regressionsanalyse
Allgemeine Betrachtung
- Sind die Punkte geordnet oder zufällig verteilt?
- Ist ein Verlauf der Punkte erkennbar?
- Passt das gewählte Regressionsmodell zum Verlauf?
- Ist der Zusammenhang positiv oder negativ?
- Falls der Verlauf gekrümmt ist: Ist ein höherer Polynomgrad fachlich sinnvoll?
- Ist die Streuung der Punkte um das Modell gering oder groß?
Achtung: Ein gutes Regressionsmodell bedeutet nicht zwangsläufig, dass eine Variable die Ursache der anderen ist.
- Je höher der Polynomgrad, desto mehr unterschiedliche x-Werte werden benötigt, um das Modell anpassen zu können.
- Bei zu wenigen unterschiedlichen x-Werten kann das Regressionsmodell nicht zuverlässig berechnet oder interpretiert werden.
In der Entwicklung eines neuen Bauteils wird untersucht, wie die Abkühlzeit nach der Wärmebehandlung die Härte des Materials beeinflusst. Es wird vermutet, dass eine längere Abkühlzeit zu einer geringeren Materialhärte führt.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt einen negativen Zusammenhang: Mit zunehmender Abkühlzeit nimmt die Materialhärte ab. Die Residuenplots sollten jedoch kritisch betrachtet werden. Im Diagramm Residuen vs. Anpassung liegen die Residuen nicht gleichmäßig zufällig verteilt, sondern zeigen ein wiederkehrendes Muster. Auch die Residuen-Zeitreihe wirkt regelmäßig und nicht zufällig. Dadurch wird deutlich, dass die Daten zwar einen klaren Trend zeigen, die Residuen aber nicht wie zufällige Messabweichungen wirken. Das Modell beschreibt den Zusammenhang, sollte jedoch nicht als ideales Beispiel für unauffällige Residuen interpretiert werden.
In der Produktion wird ein Qualitätsmerkmal inline gemessen, z. B. die Abfüllmenge. In der Qualitätssicherung wird dasselbe Merkmal mit einem separaten Messmittel erneut geprüft. Um zu untersuchen, ob die Messwerte der Produktion und der Qualitätssicherung konsistent zueinander sind, werden beide Messwerte als Wertepaar erfasst und in einer Regressionsanalyse dargestellt.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt einen deutlichen positiven Zusammenhang zwischen Produktionsmesswert und QS-Messwert. Die Residuenplots weisen jedoch auf eine systematische Abweichung hin. Im Diagramm Residuen vs. Anpassung ist ein gekrümmtes Muster erkennbar: Die Residuen liegen nicht zufällig um 0, sondern verändern sich über den Messbereich. Auch die Residuen-Zeitreihe zeigt einen auffälligen Verlauf. Das deutet darauf hin, dass ein einfaches lineares Modell den Zusammenhang nicht vollständig beschreibt. In der Praxis sollte geprüft werden, ob ein Messbereichs- oder Kalibriereffekt vorliegt.
In der Produktion wird untersucht, wie sich die Wartungsfrequenz auf die ungeplante Stillstandszeit von Maschinen auswirkt. Es wird angenommen, dass regelmäßige Wartung ungeplante Stillstände reduziert, dieser Effekt jedoch ab einer bestimmten Wartungshäufigkeit abnimmt. Für mehrere Maschinen werden die Anzahl der Wartungen pro Monat sowie die ungeplante Stillstandszeit im gleichen Zeitraum erfasst und als Wertepaar dokumentiert. Mithilfe der Regressionsanalyse wird geprüft, ob ein Zusammenhang besteht und ob sich ein Sättigungseffekt erkennen lässt.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt, dass mit zunehmender Wartungsfrequenz die ungeplante Stillstandszeit zunächst deutlich abnimmt. Ab einer Wartungsfrequenz von etwa 4–5 Wartungen pro Monat flacht der Effekt ab. Das kubische Modell bildet diesen abnehmenden Grenznutzen sichtbar ab und beschreibt die Messwerte sehr gut. In dieser Darstellung wurden die Residuen-Diagramme bewusst nicht eingeblendet, sodass die Interpretation auf dem Modellverlauf und den Ergebnistabellen basiert.
Im IT-Service-Desk wird untersucht, ob das Alter eines Tickets einen Einfluss auf die Bearbeitungsdauer hat. Es wird vermutet, dass ältere Tickets häufig komplexer sind oder mehrfach eskaliert wurden und daher längere Bearbeitungszeiten verursachen. Für mehrere Tickets werden das Ticketalter zum Zeitpunkt der Bearbeitung sowie die tatsächliche Bearbeitungsdauer erfasst und als Wertepaar dokumentiert. Mithilfe der Regressionsanalyse soll geprüft werden, ob ein Zusammenhang zwischen Ticketalter und Bearbeitungsdauer besteht.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt eine starke Streuung der Bearbeitungsdauer über alle Ticketalter hinweg. Das lineare Modell erklärt nur einen geringen Teil der Streuung; der P-Wert der Regression ist nicht auffällig genug, um einen klaren linearen Zusammenhang abzuleiten. Die Residuen zeigen keinen klaren Hinweis darauf, dass das lineare Modell die Streuung sinnvoll erklärt. Das Ticketalter allein ist daher kein geeigneter Prädiktor für die Bearbeitungsdauer.
Im Vertrieb werden Verkaufsangebote an Kunden erstellt. Es soll untersucht werden, ob die Dauer des Angebotsprozesses einen Einfluss auf die Verkaufsquote hat. Für mehrere Angebote werden die Angebotsdauer (Zeit von Angebotserstellung bis Entscheidung) sowie die resultierende Verkaufsquote erfasst und als Wertepaar dokumentiert. Mithilfe der Regressionsanalyse wird geprüft, ob ein Zusammenhang zwischen Angebotsdauer und Verkaufsquote erkennbar ist.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt den Zusammenhang zwischen Angebotsdauer und Verkaufsquote. Der Verlauf ist nicht linear; deshalb wurde ein quadratisches Modell verwendet. Das Regressionsmodell beschreibt einen U-förmigen Verlauf: Bei mittleren Angebotsdauern ist die Verkaufsquote niedriger, bei sehr kurzen und längeren Angebotsdauern höher. Die Modellkennzahlen zeigen einen erklärbaren Zusammenhang, die Residuen weisen jedoch weiterhin Streuung auf. Das Modell sollte daher fachlich geprüft und nicht ohne Kontext für Prognosen außerhalb des beobachteten Bereichs verwendet werden. Das Diagramm verdeutlicht, dass sich der Zusammenhang zwischen Angebotsdauer und Verkaufsquote nicht sinnvoll durch eine einfache Gerade beschreiben lässt.
In der Logistik werden Kundenaufträge über mehrere Logistikzentren abgewickelt. Es soll untersucht werden, ob die Liefermenge einen Einfluss auf die Lieferzeit hat. Für mehrere Aufträge werden die Liefermenge sowie die tatsächliche Lieferzeit erfasst und als Wertepaar dokumentiert. Mithilfe der Regressionsanalyse wird geprüft, ob ein Zusammenhang zwischen Liefermenge und Lieferzeit erkennbar ist.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt nur einen schwachen bis mäßigen Zusammenhang zwischen Lieferzeit und Liefermenge. Die Residuen streuen deutlich um die Nulllinie. Im Diagramm Residuen vs. Anpassung sind einzelne größere Abweichungen erkennbar; die Streuung wirkt insgesamt deutlich. Die Residuen-Zeitreihe zeigt zudem einen ansteigenden Verlauf. Das kann darauf hinweisen, dass die Reihenfolge der Daten oder weitere Einflussfaktoren eine Rolle spielen. Die Liefermenge allein erklärt die Lieferzeit daher nur eingeschränkt.
Im Einkauf wird untersucht, ob die Länge der Bestellvorlaufzeit einen Einfluss auf die termingerechte Lieferung hat. Es wird vermutet, dass längere Vorlaufzeiten die Planbarkeit verbessern und dadurch die termingerechte Lieferquote erhöhen. Für mehrere Bestellungen werden die Vorlaufzeit (Zeit zwischen Bestellung und geplantem Liefertermin) sowie die tatsächliche termingerechte Lieferquote erfasst und als Wertepaar dokumentiert. Mithilfe der Regressionsanalyse wird geprüft, ob ein Zusammenhang zwischen Vorlaufzeit und termingerechter Lieferquote erkennbar ist.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt einen positiven linearen Zusammenhang zwischen Vorlaufzeit und termingerechter Lieferquote. Mit zunehmender Vorlaufzeit steigt die termingerechte Lieferquote an. Die Punkte liegen nahe an der Regressionslinie. Die Modellzusammenfassung zeigt eine hohe erklärte Streuung und die Varianzanalyse weist auf ein statistisch deutliches Modell hin. In dieser Darstellung wurden die Residuen-Diagramme bewusst nicht eingeblendet, da der lineare Zusammenhang bereits im Hauptdiagramm und in den Ergebnistabellen gut erkennbar ist.
In der Produktionsplanung werden Prognosen mithilfe eines Korrekturfaktors angepasst, um systematische Über- oder Unterprognosen auszugleichen. Es soll untersucht werden, wie sich die Höhe des angewendeten Korrekturfaktors auf die verbleibende Prognoseabweichung auswirkt. Für mehrere Prognosen werden der verwendete Korrekturfaktor sowie die tatsächliche Prognoseabweichung erfasst und als Wertepaar dokumentiert. Mithilfe der Regressionsanalyse wird geprüft, ob ein Zusammenhang zwischen Korrekturfaktor und Prognoseabweichung erkennbar ist.
Interpretation
Die Regressionsanalyse zeigt einen klaren negativen Zusammenhang zwischen Korrekturfaktor und Prognoseabweichung. Die Residuenplots zeigen jedoch, dass die Abweichungen nicht vollständig zufällig verteilt sind. Im Diagramm Residuen vs. Anpassung ist eine leichte Struktur erkennbar, und in der Residuen-Zeitreihe zeigen sich zusammenhängende Bereiche mit positiven beziehungsweise negativen Residuen. Das Modell beschreibt den grundsätzlichen Zusammenhang, die Residuen deuten jedoch darauf hin, dass weitere Einflussgrößen oder systematische Effekte eine Rolle spielen könnten.
Für die Berechnung wird ein Regressionsmodell verwendet.