Test na wariancje

Cel narzędzia

Test wariancji jest używany do sprawdzenia, czy rozproszenia dwóch lub więcej grup różnią się statystycznie istotnie. Nie odpowiada na pytanie, czy średnie się różnią, ale czy wariancje lub odchylenia standardowe są porównywalne.

Narzędzie jest szczególnie pomocne przy ocenie, czy wiele procesów, formulacji, maszyn lub grup działa podobnie stabilnie, czy też jedna grupa różni się znacząco bardziej od pozostałych.

Decyzja jest podejmowana poprzez porównanie wartości p z ustalonym poziomem istotności (zwykle α = 0,05):

p > α → Zachowaj H₀; nie ma istotnych wskazań na różne wariancje.
p ≤ α → Odrzuć H₀; istnieje istotna różnica w wariancjach.

Przykładowa lepkość sosu pomidorowego - wiele receptur

Możesz pobrać dane tutaj: ViscosityRecipeABC.xlsx

W rozwoju produktu testowane są różne receptury sosu pomidorowego. Dla tych samych danych dotyczących lepkości nie sprawdza się już, czy średnie się różnią, ale czy rozproszenie lepkości między recepturami ma różną wielkość.

W tym celu przeprowadza się pomiary lepkości na próbkach receptury A, receptury B i receptury C. Pomiary grup są zbierane niezależnie i traktowane jako próbki.

Korzystając z testu na wariancje, należy sprawdzić, czy receptury mają porównywalne rozproszenie procesu, czy też przynajmniej jedna receptura jest znacznie bardziej zmienna.

Interpretacja wyników:

Wartość p jest porównywana z poziomem istotności 0,05. Ponieważ wartość p w tym przykładzie wynosi 0,000, jest poniżej 0,05. Hipoteza zerowa o równych wariancjach jest zatem odrzucona.

Oznacza to: Receptury mogą różnić się nie tylko średnią lepkością, ale także rozproszeniem wartości lepkości. Przynajmniej jedna receptura wykazuje znacznie inne rozproszenie niż pozostałe receptury.

Dla rozwoju produktu jest to ważne, ponieważ receptura o wysokim rozproszeniu jest mniej stabilna. Nawet jeśli średnia wartość jest ogólnie w pożądanym zakresie, poszczególne partie mogą okazać się znacznie cieńsze lub grubsze. Z kolei receptura o niższym rozproszeniu jest bardziej zarządzalna i zapewnia bardziej spójne właściwości produktu.

Wykres słupkowy błędów pokazuje odchylenia standardowe receptur z odpowiadającymi im przedziałami ufności Bonferroniego. Receptury z większymi odchyleniami standardowymi wykazują większe wahania lepkości. Jednak ostateczna decyzja statystyczna jest podejmowana na podstawie wartości p.

Objaśnienia do grafiki:

Punkty oznaczają odchylenia standardowe lepkości dla poszczególnych receptur.
Słupki błędów reprezentują przedziały ufności odchyleń standardowych. Gdy aktywowana jest normalna dystrybucja, używane są przedziały Bonferroniego; bez aktywowanej normalnej dystrybucji używane są przedziały Bonetta.
Nakładanie się przedziałów daje początkową wizualną wskazówkę. Ostateczna decyzja jest podejmowana na podstawie wartości p.

Procedura

Poniżej przedstawiono rozważania i kroki niezbędne do przeprowadzenia testu wariancji dla dwóch lub więcej próbek.

Przygotowanie

Wybierz zmienną pomiarową ciągłą (np. lepkość).
Zdefiniuj dwie lub więcej grup, których wariancje mają być porównane (np. formuła A, B i C).
Ustal poziom istotności (zwykle α = 0,05).
Ustal poziom ufności (zwykle 95%).
Sprawdź, czy pomiary były wykonywane niezależnie od siebie.
Zdecyduj, czy założyć rozkład normalny. Bez aktywowanego rozkładu normalnego narzędzie używa testu Levene'a; z aktywowanym rozkładem normalnym używany jest test F dla dwóch grup i test Bartletta dla więcej niż dwóch grup.

Użycie w AlphadiTab

W fazie Analizy wybierz narzędzie Test dla Wariancji.
Pod Danymi wybierz wszystkie grupy do porównania.
Ustal poziom ufności i poziom istotności.
Opcjonalnie aktywuj rozkład normalny, jeśli założenie rozkładu normalnego jest technicznie uzasadnione.
Przeprowadź analizę, wybierając “Utwórz Nowy”.

Interpretacja

Sprawdź, który test został zastosowany: test Levene'a, test F lub test Bartletta.
Sprawdź, czy wartość p jest mniejsza lub równa poziomowi istotności.
p ≤ α → statystycznie istotna różnica między co najmniej dwiema wariancjami lub odchyleniami standardowymi.
p > α → brak statystycznie istotnej różnicy między wariancjami lub odchyleniami standardowymi.

Ważne: Test wariancji najpierw sprawdza rozproszenia. Nie stwierdza, czy średnie grup są różne.

Wymagania

Dwie lub więcej grup

Musi być co najmniej dwie grupy, których wariancje mają być porównane (np. formuła A, formuła B i formuła C).

Dlaczego to jest ważne? Test wariancji to procedura porównywania wariancji między grupami. Dla dokładnie dwóch grup można użyć testu F, jeśli spełnione jest założenie o rozkładzie normalnym. Dla wielu grup stosuje się test Bartletta dla danych o rozkładzie normalnym.

Niezależne próbki

Pomiary grup nie mogą na siebie wpływać. Nie powinno być parowania tych samych części lub osób.

Dlaczego to jest ważne? Test zakłada, że grupy zostały zebrane niezależnie. Zależne pomiary wymagają innych procedur.

Ciągłe dane pomiarowe

Pomiary muszą być ciągłe.

Dlaczego to jest ważne? Testy wariancji porównują rozrzut danych pomiarowych liczbowych. Dla czystych zliczeń, kategorii lub proporcji bardziej odpowiednie są inne procedury.

Dane o rozkładzie normalnym

Jeśli opcja rozkładu normalnego jest włączona, dane w każdej grupie powinny być w przybliżeniu normalnie rozłożone.

Dlaczego to jest ważne? Test F i test Bartletta są wrażliwe na odchylenia od rozkładu normalnego. Dla skośnych rozkładów, wartości odstających lub niepewnych założeń o rozkładzie normalnym, należy preferować test Levene'a. Narzędzie używa testu Levene'a opartego na absolutnych odchyleniach od mediany bez włączonego rozkładu normalnego. Ta wersja jest bardziej odporna na wartości odstające i brak normalności.

Kiedy inne narzędzia są bardziej odpowiednie?

Kiedy te same części lub osoby są mierzone wielokrotnie

Procedura dla połączonych pomiarów

Kiedy porównywane są średnie, a nie wariacje

ANOVA

t-Test (2 grupy)

Kiedy porównywane są proporcje lub częstotliwości, a nie ciągłe pomiary

Test dwóch proporcji lub test chi-kwadrat

Przykład w produkcji

Ilość napełnienia sosu pomidorowego – Maszyna A, Maszyna B i Maszyna C

W produkcji używane są trzy maszyny napełniające. Należy zbadać, czy ilości napełnienia maszyn różnią się znacząco. Podczas gdy ANOVA porównuje średnie ilości napełnienia, test wariancji bada rozproszenie maszyn.

Możesz pobrać dane tutaj: FillingQuantityMachineABC.xlsx

Interpretacja

Wartość p jest powyżej 0,05. Dlatego hipoteza zerowa o równych wariancjach nie jest odrzucana.

Ilości napełnienia maszyn nie różnią się statystycznie znacząco. Maszyny działają porównywalnie stabilnie pod względem ich fluktuacji. Różnice w średnich musiałyby być testowane osobno.

Przykład w helpdeskach IT

Czas reakcji helpdesku IT vs. lokalizacja

W serwisie IT, zgłoszenia są przetwarzane w wielu lokalizacjach. Należy sprawdzić, czy czasy reakcji różnią się znacząco między lokalizacjami. Wysoka zmienność może wskazywać na niespójne procesy serwisowe lub bardzo zmienne obciążenie pracą.

Możesz pobrać dane tutaj: ResponseTimeTicketsLocation.xlsx

Interpretacja

Wartość p jest powyżej 0,05. Hipoteza zerowa o równości wariancji nie jest odrzucona.

Czasy reakcji lokalizacji nie różnią się statystycznie istotnie. Szeroki przedział ufności na diagramie raczej wskazuje na niepewne oszacowanie, na przykład z powodu małej wielkości próby lub pojedynczych wartości odstających. Z tego nie można wyprowadzić jednoznacznej różnicy w wariancjach.

Przykład w sprzedaży

Czas realizacji według regionu

W sprzedaży oferty dla klientów są przetwarzane przez wiele zespołów. Oprócz średniego czasu realizacji, interesujące jest również sprawdzenie, czy czas przetwarzania jest spójny, czy bardzo zmienny.

Możesz pobrać dane tutaj: VertriebTeams.xlsx

Interpretacja

Wartość p jest powyżej 0,05. Hipoteza zerowa o równości wariancji nie jest odrzucona.

Czasy realizacji zespołów nie różnią się statystycznie istotnie. W związku z tym nie ma wskazań, że jeden zespół pracuje znacząco mniej spójnie lub mniej przewidywalnie niż inne.

Przykład w logistyce

Czas dostawy po centrum logistycznym

W dziale logistyki zamówienia klientów są kompletowane i wysyłane. Należy zbadać, czy czasy dostawy w centrach logistycznych różnią się znacząco.

H₀: σ²_Centrum A = σ²_Centrum B = σ²_Centrum C
H₁: Przynajmniej jedna wariancja się różni.

Możesz pobrać dane tutaj: DeliveryTimeLogisticsCenter.xlsx

Interpretacja

Wartość p jest poniżej 0,05. Hipoteza zerowa o równości wariancji jest odrzucona.

Czasy dostawy różnią się statystycznie istotnie między centrami logistycznymi. Przynajmniej jedno centrum dostarcza mniej konsekwentnie. Może to wskazywać na różnice w obciążeniu pracą, procesach lub warunkach transportu.

Przykład w zakupach

Porównanie dostawców

W zakupach komponenty są pozyskiwane od trzech dostawców. Należy zbadać, czy wskaźniki odrzutów na dostawę wahają się bardziej u poszczególnych dostawców niż u innych.

Uwaga:

Wartości procentowe, takie jak wskaźnik odrzutów, mogą być dyskretne, ponieważ wynikają z wartości liczbowych. Przy małych ilościach dostaw pojawia się tylko kilka możliwych wartości procentowych. W takich przypadkach należy profesjonalnie zbadać przydatność testu.

Możesz pobrać dane tutaj: RejectionSupplierABC.xlsx

Interpretacja

Wartość p jest poniżej 0,05. Hipoteza zerowa o równych wariancjach jest odrzucona.

Wskaźniki odrzutów różnią się statystycznie istotnie między dostawcami. Dostawca może być akceptowalny średnio, ale dostarczać mniej niezawodnie, ponieważ jakość bardziej się waha.

Przykład w planowaniu

Odchylenie prognozy

W planowaniu produkcji tworzone są prognozy popytu dla różnych okresów planowania. Należy zbadać, czy odchylenia prognoz różnią się znacząco między krótkoterminowymi, średnioterminowymi i długoterminowymi horyzontami planowania.

Możesz pobrać dane tutaj: PlanningHorizonDeviation.xlsx

Interpretacja

Wartość p wynosząca 0,194 jest powyżej poziomu istotności 0,05. Dlatego hipoteza zerowa o równości wariancji nie jest odrzucana.

Tak więc nie ma statystycznie istotnych dowodów na to, że rozkład odchyleń prognoz różni się między horyzontami planowania. Różnice w zakresie zmienności mogą być widoczne w próbie, ale nie są statystycznie potwierdzone na podstawie tego testu.

Warunki

Dane ciągłe: Dane zebrane za pomocą przyrządu pomiarowego, które mogą mieć zarówno jednostki, jak i miejsca dziesiętne.

Dane rozkładu normalnego: Dane, które można dobrze opisać za pomocą rozkładu normalnego. Można to sprawdzić na przykład za pomocą testu na rozkład normalny lub za pomocą odpowiednich diagramów.

s: Odchylenie standardowe próby. Opisuje rozproszenie pomiarów wokół średniej.

s²: Wariancja próby. Jest kwadratem odchylenia standardowego.

n: Wielkość próby. Liczba obserwacji w próbie.

α: Poziom istotności. Ustalona z góry prawdopodobieństwo błędu, z którym błędnie odrzuca się hipotezę zerową.

p-wartość: Wynik testu hipotezy używany do podjęcia decyzji między hipotezą zerową a hipotezą alternatywną.

F-wartość: Statystyka testowa w teście F lub teście Levene'a. W teście F opisuje stosunek dwóch wariancji próby.

Wartość chi-kwadrat: Statystyka testowa w teście Bartletta dla więcej niż dwóch grup przy założeniu rozkładu normalnego.

df: Stopnie swobody. Wartości pochodzące z liczby grup i obserwacji, które określają kształt rozkładu testowego.

Poziom ufności: Prawdopodobieństwo, z jakim obliczony przedział ufności obejmuje prawdziwą wartość parametru (np. 95%).

Przedział ufności: Zakres wartości, który zawiera prawdziwe odchylenie standardowe lub wariancję z wybranym poziomem ufności.

Hipoteza zerowa: Hipoteza początkowa, która zakłada równość wariancji dla wszystkich grup podczas testowania wariancji.

Hipoteza alternatywna: Hipoteza przeciwna do hipotezy zerowej. Stwierdza, że co najmniej jedna wariancja różni się od pozostałych.

Test Levene'a: Solidny test równości wariancji. W narzędziu używane są absolutne odchylenia od mediany grupy.

Test F: Test równości dwóch wariancji przy założeniu rozkładu normalnego.

Test Bartletta: Test równości wielu wariancji przy założeniu rozkładu normalnego.

Przedziały Bonferroniego: Skorygowane przedziały ufności, które uwzględniają ogólne prawdopodobieństwo błędu przy porównywaniu wielu grup jednocześnie.

Formuły

Test równości wariancji sprawdza, czy wariancje kilku grup różnią się statystycznie istotnie.

Przy założeniu rozkładu normalnego narzędzie używa testu F dla dokładnie dwóch grup oraz testu Bartletta dla więcej niż dwóch grup. Bez założenia rozkładu normalnego używany jest test Levene'a oparty na medianie.

Wymagane funkcje rozkładu i kwantyle rozkładu F, Chi-kwadrat i normalnego są oceniane przy użyciu CenterSpace NMath.

Hipotezy

H₀: σ₁² = σ₂² = … = σ_k²

H₁: Przynajmniej jedna wariancja σ_i² różni się.

Znaczenie

σ_i² = Wariancja grupy i

k = Liczba grup

Test F dla dwóch grup o rozkładzie normalnym

Jeśli obecne są dokładnie dwie grupy i opcja Rozkład normalny jest włączona, narzędzie używa dwustronnego testu F.

F = s₁² / s₂²

Znaczenie

s₁² = Wariancja próbki pierwszej grupy

s₂² = Wariancja próbki drugiej grupy

df₁ = n₁ − 1

df₂ = n₂ − 1

Wartość p jest określana dwustronnie z rozkładu F. Funkcja rozkładu rozkładu F jest oceniana przy użyciu CenterSpace NMath.

F ≥ 1: p = 2 · [1 − F_df1,df2(F)]

F < 1: p = 2 · F_df1,df2(F)

Znaczenie

F_df1,df2(x) = Funkcja rozkładu rozkładu F

Test Bartletta dla wielu grup o rozkładzie normalnym

Jeśli obecne są więcej niż dwie grupy i opcja Rozkład normalny jest włączona, narzędzie używa testu Bartletta.

Najpierw obliczana jest wariancja łączona:

s_p² = [Σ_i=1^k (n_i − 1) s_i²] / [Σ_i=1^k (n_i − 1)]

Statystyka testu Bartletta używana w narzędziu to:

B = { [Σ(n_i − 1)] · ln(s_p²) − Σ(n_i − 1) ln(s_i²) } / C

C = 1 + [1 / (3(k − 1))] · { Σ[1/(n_i − 1)] − 1 / Σ(n_i − 1) }

Znaczenie

s_i² = Wariancja grupy i

s_p² = Wariancja łączona

n_i = Wielkość próbki grupy i

k = Liczba grup

Zgodnie z hipotezą zerową, statystyka testu jest oceniana przybliżeniem rozkładem Chi-kwadrat z k − 1 stopniami swobody. Funkcja rozkładu Chi-kwadrat jest obliczana przy użyciu CenterSpace NMath.

p = 1 − F_χ²,k−1(B)

Test Levene'a bez założenia rozkładu normalnego

Jeśli opcja Rozkład normalny nie jest włączona, narzędzie używa wariantu testu Levene'a opartego na medianie. Najpierw obliczane są bezwzględne odchylenia od mediany odpowiedniej grupy dla każdej grupy.

z_ij = |x_ij − Mediana_i|

Znaczenie

x_ij = Obserwacja j w grupie i

Mediana_i = Mediana grupy i

z_ij = Bezwzględne odchylenie od mediany grupy

Następnie stosuje się jednoczynnikową analizę wariancji (ANOVA) do bezwzględnych odchyleń. Statystyka testu jest wyprowadzana z ilorazu średnich kwadratów między i wewnątrz grup.

F = MS_między / MS_wewnątrz

df_między = k − 1
df_wewnątrz = N − k

Znaczenie

k = Liczba grup

N = Całkowita liczba obserwacji

Wartość p jest określana z prawego ogona rozkładu F. Funkcja rozkładu F jest oceniana przy użyciu CenterSpace NMath.

p = 1 − F_k−1,N−k(F)

Przedziały ufności Bonferroniego

Oprócz testu wariancji narzędzie oblicza jednoczesny przedział ufności dla odchylenia standardowego dla każdej grupy. Globalny poziom błędu jest rozdzielany między grupy zgodnie z Bonferronim.

α_Grupa = (1 − Poziom ufności) / k

Znaczenie

k = Liczba grup

α_Grupa = Skorygowany poziom błędu Bonferroniego na grupę

Przedziały z założeniem rozkładu normalnego

Przy założeniu rozkładu normalnego obliczane są przedziały ufności dla wariancji oparte na rozkładzie Chi-kwadrat. Wymagane kwantyle rozkładu Chi-kwadrat są określane przy użyciu CenterSpace NMath.

Var_dolny = [(n − 1)s²] / χ²_{1−αGrupa/2, n−1}

Var_górny = [(n − 1)s²] / χ²_{αGrupa/2, n−1}

Granice dla odchylenia standardowego są uzyskiwane przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego:

SD_dolny = √(Var_dolny)

SD_górny = √(Var_górny)

Przedziały Bonetta bez założenia rozkładu normalnego

Bez założenia rozkładu normalnego narzędzie używa przedziałów Bonetta. Uwzględniane są wielkość próbki i kurtoza odpowiedniej grupy.

Dla większych próbek najpierw określana jest średnia przycięta. Dla próbek z co najwyżej pięcioma obserwacjami używana jest zwykła średnia.

p = 1 / [2√(n − 4)]

Znaczenie

p = Proporcja obserwacji do przycięcia na obu końcach

Kurtoza nadmiarowa jest określana z odchyleń od średniej przyciętej:

γ_e = [n / (n − 1)²] · Σ [((x_i − x̄_przycięta) / s)&sup4;] − 3

Następnie obliczany jest błąd standardowy:

SE = √[ (γ_e + 2 + 3/n) / (n − 1) ]

Wymagany kwantyl standardowego rozkładu normalnego jest określany przy użyciu CenterSpace NMath:

z = z_{1−αGrupa/2}

Używany w narzędziu współczynnik korekty Bonetta to:

c = n / (n − z)

Następnie granice wariancji są obliczane jako:

Var_dolny = c · s² · exp(−c · z · SE)

Var_górny = c · s² · exp(c · z · SE)

Granice dla odchylenia standardowego są ponownie uzyskiwane z pierwiastków kwadratowych granic wariancji.

SD_dolny = √(Var_dolny)

SD_górny = √(Var_górny)